On the Invariant Sphere Theorem

Abstract For a system in $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> consisting of an unstable star node and homogeneous nonlinearity, i.e. $$\dot{x}=\mu x+Q(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with $$\mu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and Q ( x ) a homogeneous polynomial satisfying $$xQ(x)&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all $$x\ne 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , Field in 1989 proved the existence of a unique topological invariant sphere. Here restricted to $$n=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that the topological invariant circle is of star shape, and obtain the classification of all their phase portraits in the Poincaré disc when Q is of degree 5 and the invariant circle is the circle $${\mathbb {S}}^1=\{(x,y,z) \in \mathbb {R}^3|\ x^2+y^2+z^2=1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Moreover, without the restriction $$xQ(x)&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> we characterize the relation between equilibria (both finite and infinite) and the invariant straight lines passing through the origin. These results extend and improve the previous results of other authors.