Spectral Construction of Optimal Weighted Wasserstein Metrics for Random Logistic-Type Maps

Abstract Random iterated function systems of one-dimensional maps on a compact interval $$X\subset \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> often fail to be globally contractive in any fixed metric, even when sample Lyapunov exponents are negative. A classical workaround is to twist the geometry by a positive weight w and require a weighted-derivative condition of the form $$ \sum _{k=1}^m p_k \left| f_k'(x)\,\frac{w(x)}{w(f_k(x))}\right| \le r&lt;1, \qquad \forall x\in X, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> which ensures that the associated Markov operator is a strict contraction in a weighted Wasserstein–Kantorovich metric $$d_W^{(w)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> . In this paper, we replace ad hoc constructions of w by a spectral theory for the derivative transfer operator $$ (\mathscr {L}\varphi )(x) = \sum _{k=1}^m p_k\,|f_k'(x)|\,\varphi (f_k(x)), \qquad \varphi \in C(X). $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Our main result proves that the optimal contraction constant, minimised over all continuous weights $$w&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , coincides with the spectral radius $$\rho (\mathscr {L})$$ <mml:math xm