Finite Time Blow-Up for the Hypodissipative Navier Stokes Equations with a Force in $$L^1_t C_x^{1,\epsilon }\cap L^{\infty }_{t} L^{2}_{x}$$

Abstract In this work we establish the formation of singularities of classical solutions with finite energy of the forced fractional Navier Stokes equations where the dissipative term is given by $$|\nabla |^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> for any $$\alpha \in [0, \alpha _0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ( $$\alpha _0 = \frac{22-8\sqrt{7}}{9} &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>22</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ). We construct solutions in $$\mathbb {R}^3\times [0,T]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with a finite $$T&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and with an external forcing which is in $$L^1_t([0, T]) C_x^{1,\epsilon }\cap L^{\infty }_{t} L^{2}_{x}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> , such that for each time $$t \in [0, T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , the velocity u is in the space $$C^\infty \cap L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and such that as the time t approaches the blow-up moment T , the integral $$\int _0^t |\nabla u| \text {d}s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow>