Gradient Integrability for Bounded $$\textrm{BD}$$-Minimizers

Abstract We establish that locally bounded relaxed minimizers of degenerate elliptic symmetric gradient functionals on $$\textrm{BD}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>BD</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> have weak gradients in $$\textrm{L}_{\textrm{loc}}^{1}(\Omega ;\mathbb {R}^{n\times n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mtext>L</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext>loc</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . This is achieved for the sharp ellipticity range that is presently known to yield $$\textrm{W}_{\textrm{loc}}^{1,1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mtext>W</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext>loc</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> -regularity in the full gradient case on $$\textrm{BV}(\Omega ;\mathbb {R}^{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>BV</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . As a consequence, we also obtain the first Sobolev regularity results for minimizers of the area-type functional on $$\textrm{BD}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>BD</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .