Cyclic completely regular codes $$C_{1,5}$$

Abstract We construct a family of cyclic completely regular codes (CRCs) of length $$n=2^m-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and compute their intersection arrays. These codes, denoted $$C_{1,5}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , are generated by the product $$m_1(x)m_5(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$m_i(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the minimal polynomial of $$\alpha ^i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , and $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> is a primitive element of the finite field $$\mathbb {F}_{2^m}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> . We consider two main cases: odd m and $$m \equiv 2 \pmod {4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . For odd m , these codes are known to be completely regular with covering radius $$\rho =3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and minimum distance $$d=5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that, for any m , the codes $$C_{1,3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$C_{1,5}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are non-equivalent despite sharing the same parameters and intersection array. For $$m \equiv 2 \pmod {4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo>