Global $$L^\infty $$ and Decay Estimate for Fractional p-Laplacian Equations in $$D^{s,p}({\mathbb R}^N)$$

Abstract In this paper we present a new global $${L^\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -estimate for solutions $$u\in D^{s,p}({\mathbb R}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of the fractional p -Laplacian equation $$ u\in D^{s,p}({\mathbb R}^N): (-\Delta _p)^s u=f(x,u) \quad \text{ in } {\mathbb R}^N, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of the form $$ \Vert u\Vert _{\infty }\le C \Phi (\Vert u\Vert _{\beta }) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for some $$\beta &gt; p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\Phi : {\mathbb R}^+\rightarrow {\mathbb R}^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a data independent function with $$\lim _{s\rightarrow 0^+}\Phi (s)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The obtained