Réduction de modèle pour la dynamique non linéaire des structures minces par la méthode des variétés invariantes

Les structures minces, telles que les plaques et les coques, sont largement utilisées dans les domaines du génie mécanique, civil et aérospatial en raison de leur légèreté et de leur efficacité structurelle. Sous sollicitations dynamiques, ces structures présentent fréquemment des non-linéarités géométriques marquées, des couplages modaux complexes et des phénomènes de résonance interne, rendant leur analyse numérique particulièrement délicate. Bien que la méthode des éléments finis constitue un outil de référence pour la modélisation de telles structures, les simulations dynamiques non linéaires directes à grande échelle restent computationnellement prohibitives, ce qui motive le développement de stratégies de réduction de modèle fiables et efficaces.Cette thèse propose un cadre numérique unifié pour la modélisation d'ordre réduit des dynamiques non linéaires des structures minces, fondé sur la méthode de paramétrisation directe des variétés invariantes (Direct Parametrisation of Invariant Manifolds, DPIM). Une formulation par éléments finis tridimensionnels de type coque solide à sept paramètres est développée dans un cadre lagrangien total. Cette formulation, basée sur la mécanique des milieux continus, intègre des techniques de déformation assumée améliorée afin d'éliminer les phénomènes de verrouillage et d'assurer une description cohérente des effets de flexion, de membrane et de cisaillement, même en présence de grandes déformations.Sur cette base, les équations du mouvement non linéaires sont reformulées sous forme d'un système dynamique du premier ordre, permettant l'identification de sous-espaces spectraux associés aux modes dominants. Les dynamiques sont ensuite projetées sur des variétés invariantes de haute régularité, calculées de manière récursive à l'aide de la méthode de paramétrisation. Cette approche garantit l'invariance du modèle réduit, assurant que toute trajectoire issue de celui-ci correspond à une dynamique physiquement admissible du système complet. La méthode est étendue aux systèmes non autonomes soumis à des excitations périodiques par l'introduction d'une variété invariante étendue dans l'espace temps-état.Les dynamiques réduites sont résolues efficacement dans le domaine fréquentiel à l'aide de la méthode de l'équilibrage harmonique, combinée à des techniques de continuation et à des analyses de stabilité. Plusieurs applications numériques sur des structures planes et courbes mettent en évidence la capacité du modèle réduit à prédire avec précision les transitions durcissant-adoucissant, les résonances internes, les branches de solutions isolées et l'influence de variations géométriques, tout en réduisant significativement le coût de calcul. Enfin, une extension du cadre est proposée pour prendre en compte les effets de rotation. Les résultats démontrent que l'approche DPIM constitue une stratégie robuste et performante pour l'analyse dynamique non linéaire des structures minces.