Singular Perturbation Analysis of Accelerated Inertial Systems for Non-Potential Operators in the High-Damping Regime

Abstract This article analyzes the asymptotic behavior of three classes of second-order inertial systems with vanishing damping when applied to non-potential operators. We consider the dynamics $$\text {(V-AVD)}_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>(V-AVD)</mml:mtext> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$\text {(V-DIN-AVD)}_{\alpha ,\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>(V-DIN-AVD)</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , and $$\text {(V-ISIHD)}_{\alpha ,\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>(V-ISIHD)</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , where $$V: \mathcal {H} \rightarrow \mathcal {H}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a $$\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> -cocoercive operator. By using a time-scale change $$t = \sqrt{2(\alpha +1)s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> , we show that as the damping parameter $$\alpha \rightarrow +\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the rescaled trajectories converge uniformly on compact time intervals to solutions of first-order differential equations. Specifically, we establish convergence to the monotone flow $$\dot{y}(s) + V(y(s)) = 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for (V-AVD), to a Levenberg-Marquardt type equation $$\dot{y}(s) + V(y(s)) + \beta _0 \frac{d}{ds}V(y(s)) = 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ds</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for (V-DIN-AVD) in finite dimensions under the condition $$\lambda &gt; 2\beta _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">