Towards the classification of maximum scattered linear sets of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">PG</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q

Every maximum scattered linear set in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">PG</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the projection of an <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -subgeometry <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">PG</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> from a plane <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> external to the secant variety to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> [20]. The pair <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> will be called a projecting configuration for the linear set. The projecting configurations for the only known maximum scattered linear sets in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">PG</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , namely those of pseudoregulus and LP type, have been characterized in the literature [6, 30]. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a projecting configuration for a maximum scattered linear set in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">PG</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> be a generator of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔾</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">error</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math> are not both points, then the projected linear set is of pseudoregulus type [6]. Suppose that they are points. The rank of a point <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> is the vectorial dimension of the span of the orbit of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> under the action of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝔾</mml:mi> </mml:math> . In this paper, by investigating the geometric properties of projecting configurations, it is proved that if at least one of the points <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math> has rank 5, the associated maximum scattered linear set must be of LP type. Then, if a maximum scattered linear set of a new type exists, it must be such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">rk</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">rk</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper we derive two possible polynomial forms that such a linear set must have. An exhaustive analysis by computer shows that for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>25</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> no new maximum scattered linear set exists.