Convergence dynamics and scaling laws in the dissipative relativistic kicked rotator

Abstract We investigate the convergence dynamics of this system near period-doubling bifurcations by combining analytical derivations and large-scale numerical simulations. At the bifurcation threshold ( $$K = K_\textrm{c}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mtext>c</mml:mtext> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> ), the dynamics reduce to a normal form that produces a power-law decay $$d(n) \propto n^{-1/2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , from which the critical exponents $$\alpha = 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\beta = -1/2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and $$z = -2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> are derived. These analytical predictions are confirmed numerically and shown to satisfy the homogeneous scaling relation $$z = \alpha / \beta$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Linearization of the map near the fixed point yields an exponential relaxation law $$d_n = d_0 e^{-n/\tau }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for $$K &lt; K_\textrm{c}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mtext>c</mml:mtext> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\tau \propto (K_\textrm{c} - K)^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mtext>c</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , leading to the relaxation exponent $$\delta = -1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The remarkable agreement between theory and simulation demonstrates that the dissipative relativistic kicked rotator shares the same universality class as one-dimensional unimodal maps, despite its higher dimensionality and relativistic corrections.