Bounds on the photon sphere radius for spherically symmetric black holes in $${\varvec{n}}$$-dimensional Einstein gravity

Abstract The photon sphere, a hypersurface of null circular geodesics, plays a fundamental role in characterizing black hole spacetimes, influencing phenomena such as black hole shadows, gravitational lensing, and quasinormal modes. In this work, we derive both upper and lower bounds on the photon sphere radius for static, spherically symmetric, asymptotically flat black holes within n -dimensional Einstein gravity $$(n\ge 4)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , assuming an anisotropic matter field satisfying the weak energy condition and a non-positive trace of the energy–momentum tensor. For the upper bound, we obtain $$r_\gamma \le [(n-1)M]^{\frac{1}{n-3}},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where M is the ADM mass. In the four-dimensional case $$(n=4)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , this reduces to $$r_\gamma \le 3M,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in agreement with previous results. For the lower bound, under the additional assumption that $$|r^{n-1}p_r(r)|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is monotonically decreasing, we prove $$r_\gamma \ge (\frac{n-1}{2})^{1/(n-3)}r_H,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$r_H$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the radius of the outer event horizon; for $$n=4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> this gives $$r_\gamma \ge \frac{3}{2}r_H,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>