Polynomial approximation in the mean on segments

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\le k\le m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , be pairwise disjoint segments, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript k Baseline equals left-bracket a Subscript k Baseline comma b Subscript k Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_k = [a_k, b_k]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p Subscript k Baseline greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1&gt;p_k&gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Suppose that functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are defined on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> belongs to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C left-parenthesis upper S Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C(S_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f prime Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f’_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> belongs to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript upper P Super Subscript k Baseline left-parenthesis upper S Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^{P_k}(S_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It is shown that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 1 comma 2 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=1,2,\dots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there are polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml