Harmonic immersions of the Sierpinski gasket into the hyperbolic plane

Abstract Many fractals G admit a harmonic immersion into <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , i.e. an immersion which minimises a natural energy under fixed boundary conditions; we look for harmonic immersions of the Sierpinski gasket into the hyperbolic plane. We show that, given any three points <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the hyperbolic plane there is a harmonic map bringing the three points A , B , C of the boundary of the gasket to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> respectively. Moreover, if the points <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are sufficiently close in the hyperbolic distance, then the harmonic map is unique and depends differentiably on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="true">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Lastly, we show that, if the harmonic map φ is injective, then it brings geodesics of the gasket <j