Sharp Fourier inequalities and lattice point discrepancy for $l^{p}$-balls

Abstract For $1&lt; p\le 2$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , we establish sharp inequalities for the Fourier transform of the characteristic function of the $l^{p}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -unit ball $B_{p}\subset \mathbb{R}^{2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . We show that $$ \sup _{\boldsymbol{\omega}\in \mathbb{R}^{2}}\|\boldsymbol{\omega}\|_{2}^{3/2}| \widehat{\chi _{B_{p}}}(\boldsymbol{\omega})|\asymp (p-1)^{-1/2} \quad \text{as }p\rightarrow 1+ $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>∥</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>ˆ</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≍</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>as </mml:mtext> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:math> As an application, we obtain corresponding bounds for lattice point discrepancy inequalities for dilates of $B_{p}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> .