Family of MacMahon-type q-series and their combinatorial interpretations

Abstract We introduce and investigate a family of MacMahon-type q -series $$ H_k^{\pm }(q)=\sum _{n=0}^{\infty } h_k^{\pm }(n)q^n=\sum _{1 \le n_1 \le \dots \le n_k} \prod _{i=1}^k \frac{q^{n_i}}{1 \mp q^{n_i}}, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:munderover> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>∓</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> which enumerate weighted partitions according to a fixed number of (not necessarily distinct) magnitudes. These series extend the classical generating functions for partitions with a prescribed number of distinct parts originally studied by MacMahon. Using Gaussian polynomials, we establish finite and infinite linear relations between the truncated series $$H_{k,m}^{\pm }(q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and their limiting forms $$H_k^{\pm }(q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In particular, we derive inversion formulas expressing $$H_k^{\pm }(q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in terms of the q -products $$(\pm q;q)_\infty \, q^k/(q;q)_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . These identities lead to new combinatorial interpretations for the coefficients of