Lifting polynomial representations of SL₂(j^{l}) from 𝔽_{𝕡} to ℤ/𝕡^{𝕤}ℤ

We describe all of the irreducible polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript p Baseline upper S upper L 2 left-parenthesis p Superscript r Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_pSL_2(p^r)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -representations which lift to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis double-struck upper Z slash p Superscript s Baseline double-struck upper Z right-parenthesis upper S upper L 2 left-parenthesis p Superscript r Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\mathbb {Z}/p^s\mathbb {Z})SL_2(p^r)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -representations for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s&gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , observing that they almost never do. We also show that two related indecomposable <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript p Baseline upper S upper L 2 left-parenthesis p Superscript r Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_p SL_2(p^r)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -representations cannot be lifted to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z slash p Superscript s Baseline double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}/p^s\mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -representations for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s&gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .