The i-Quantum Group $$\textbf{U}^\imath (n)$$, II: Presenting their $$\varvec{q}$$-Schur Algebras

Abstract Since the establishment of the quantum Schur–Weyl duality in Jimbo (Lett. Math. Phys. 11 , 247–252, 1986), the duality pair $$(\textbf{U}(\mathfrak {gl}_n),\varvec{\mathcal {H}}(\mathfrak S_r))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>gl</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of type A has been extended to the duality pairs $$(\textbf{U}^\jmath (n),\varvec{\mathcal {H}}(B_r))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ȷ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$(\textbf{U}^\imath (n),\varvec{\mathcal {H}}(C_r))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ı</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in the Hecke algebra series in Bao and Wang (Astérisque 402 , vii+134, 2018), where $$\textbf{U}^\jmath (n),\textbf{U}^\imath (n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ȷ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ı</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are i -quantum groups arising from certain quantum symmetric pairs. The quantum Schur algebra associated with the pair $$(\textbf{U}(\mathfrak {gl}_n),\varvec{\mathcal {H}}(\mathfrak S_r))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>gl</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> has a nice and simple presentation; see Doty and Giaquinto (2002). In this paper, we tackle the presentation problem for the i -quantum Schur algebras associated with the duality pair $$(\textbf{U}^\imath (n),\varvec{\mathcal {H}}(C_r))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ı</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Suc