Stability of Syzygy Bundles of Ulrich Bundles

Abstract Let X be either a smooth K3 surface or a smooth Fano variety (i.e., $$-K_X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is ample) of dimension n and index $$i_X\ge n-2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and let $$\mathcal {E}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math> be an initialized Ulrich bundle on X . In this paper, we show that the syzygy bundle $$S_{\mathcal {E}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , defined as the kernel of the evaluation map $$eval:H^{0}(X,\mathcal {E})\otimes \mathcal {O}_{X}\rightarrow \mathcal {E},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is semistable.