Best Ulam constant of a partial differential operator

Abstract In this paper we give a characterization of Ulam stability for the linear partial differential operator $$D:C^{1}(\mathbb {R}^{2},X)\rightarrow C(\mathbb {R}^{2},X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> given by $$Du=au_{x}+bu_{y}+cu$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$a,b,c\in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and X is a Banach space over $$\mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> . Moreover, we obtain the best Ulam constant of the operator D .