Preserving mixed skew Lie-Jordan-n-product on von Neumann algebra

Abstract This work focuses on characterizing structure-preserving maps between factor von Neumann algebras with respect to a class of mixed skew Lie–Jordan $$n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> -products. Specifically, we consider expressions of the form $$ [A_1, A_2]_*\circ A_3 \circ \cdots \circ A_n, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where each $$A_i \in \mathfrak {S}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathfrak {S}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> is a factor von Neumann algebra. Here, the skew Lie product is defined by $$[A_1, A_2]_*= A_1A_2 - A_2^*A_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , and the Jordan product by $$A_1 \circ A_2 = A_1A_2 + A_2A_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that any map preserving these mixed products is necessarily a linear $$*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -isomorphism.