On the coincidence set of certain maps into homogeneous spaces of compact Lie groups

Abstract Let $$F\hookrightarrow M{\mathop {\rightarrow }\limits ^{q\,}}M/F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>↪</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be a fibration, where M is a compact Lie group, $$F\subset M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a closed subgroup and M / F is the homogeneous space of left cosets. Let W be an orientable, connected, closed manifold of the same dimension as M . Given maps $$f,g:W\rightarrow M/F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> that lift through q , we establish a comparison between the ranks of the $$\check{\textrm{C}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mtext>C</mml:mtext> <mml:mo>ˇ</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> ech cohomology groups of the fiber F and those of the coincidence set $$\textrm{Coin}(f,g)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Coin</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . As a consequence, we show that for any maps $$f_1\simeq f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$g_1\simeq g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the coincidence set $$\textrm{Coin}(f_1,g_1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Coin</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> cannot be a proper subset of any embedded copy of F within W , unless it is empty. We then apply this result to describe minimal coincidence sets for any pairs of maps from either $$S^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> or $$\mathbb {R}\textrm{P}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msup> <mml:mtext>P</mml:mtext> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> into either $$S^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> or $$\mathbb {R}\textrm{P}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msup> <mml:mtext>P</mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow>