Convex Combinations of Graham-Kohr Type Extension Operators

Abstract In this paper we discuss about convex combinations of the form $$\mathcal {K}_{n,\lambda }^{\alpha ,\beta }=(1-\lambda )\Psi _{n,\alpha }+\lambda \Psi _{n,\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of Graham-Kohr type extension operators $$\Psi _{n,\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , where $$\lambda \in [0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$\alpha ,\beta \in [0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The operators $$\Psi _{n,\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> were defined by I. Graham and G. Kohr in Complex Variables Theory Appl. 47 (2002), 59-72. They proved that the extension operator $$\Psi _{n,\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> preserve the starlikeness for all $$n\ge {2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\alpha \in [0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The main idea of this paper is to obtain new extension operators defined by convex combinations of Graham-Kohr type operators $$\Psi _{n,\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> that preserve the starlikeness. We prove that a starlike function $$f\in S^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with $$\mathfrak {Re}f'(z_1)&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml: