The Schwarz function and the shrinking of the Szegő curve: electrostatic, hydrodynamic, and random matrix models

Abstract We study the deformation of the classical Szegő curve $$\gamma _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> given by $$\gamma _t = \{ z\in \mathbb {C}: |z\, e^{1-z}| = e^{-t}, |z|\le 1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$t\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> from three different viewpoints: an electrostatic equilibrium problem, the dual hydrodynamic model, and a random matrix model. The common framework underlying these models is the asymptotic distribution of zeros of the scaled varying Laguerre polynomials $$L^{(\alpha _n)}_n(n z)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the critical regime where $$\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _n/n=-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , for which the limiting zero distribution is supported on $$\gamma _t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , where the deformation parameter t encodes the exponential rate at which the sequence $$\alpha _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> approximates the set of negative integers. We show that the Schwarz functions of these curves can be written in terms of the Lambert W function, and that in this formulation the S -property of Stahl and Gonchar and Rachmanov can be explictly written as the Schwarz reflection symmetry. We also discuss a conformal map of the interior of the curves $$\gamma _t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> onto the disks $$D(0,e^{-t})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and the harmonic moments of the curves.