Hardy spaces, Campanato spaces and higher order Riesz transforms associated with Bessel operators

Abstract Let $$\nu = (\nu _1, \ldots , \nu _n) \in (-1/2, \infty )^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with $$n \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and let $$\Delta _\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be the multivariate Bessel operator defined by $$ \Delta _{\nu } = -\sum _{j=1}^n\left( \frac{\partial ^2}{\partial x_j^2} - \frac{\nu _j^2 - 1/4}{x_j^2} \right) . $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In this paper, we develop the theory of Hardy spaces and BMO-type spaces associated with the Bessel operator $$\Delta _\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . We then study the higher-order Riesz transforms associated with $$\Delta _\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . First, we show that these transforms are Calderón-Zygmund operators. We further prove that they are bounded on the Hardy spaces and BMO-type spaces associated with $$\Delta _\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> .