Analytical Methods in Quantum Field Theories

Korrelationsfunktionen sind das zentrale mathematische Instrument, um Theorien, die die Natur beschreiben, zu testen. In der Teilchenphysik stehen Streuamplituden in engem Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Teilchenwechselwirkung stattfindet. Kosmologische Korrelatoren können helfen, die Eigenschaften des inflationären Universums zu untersuchen und in konformen Feldtheorien enthalten Korrelationsfunktionen von lokalen Operatoren Informa- tionen über messbare Größen wie die Skalendimensionen. Diese Vielzahl von Anwendungen hat die Entwicklung einer breiten Palette von Berechnungstechniken motiviert, deren Gültigkeitsbereich von schwacher Kopplung über starke Kopplung bis hin zu beliebigen Werten der Kopplung reicht. Diese Arbeit erweitert die verfügbaren Methoden bei schwacher Kopplung: (Super-) Sym- metriebeschränkungen, die zur Berechnung von Korrelatoren in Gegenwart eines eindimensionalen erweiterten Operators - des Liniendefekts - erforderlich sind, können den liniaren Raum und die Anzahl der Feynman-Integrale reduzieren. Im ersten Teil werden lineare Beziehungen zwischen parametrisierten Feynman-Integralen von ihren Eigenschaften als projektive Formen abgeleitet. Diese werden dann an Ein- und Mehrschleifenbeispielen getestet, und ihre Verbindung zu nichtlinearer Algebra von Polynomidealen wird herausgearbeitet. Der zweite Teil handelt von der Defekt-CFT, die von der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie in Anwesen- heit einer Maldacena-Wilson-Linie gebildet wird. Sie wird anhand von Bulk-Defekt-Defekt- und Mehrpunkt-Korrelationsfunktionen bis zur zweiten Ordnung in der Störungstheorie bei schwacher Kopplung untersucht. Die gewonnenen Erkenntnisse der Defekt-CFT erlauben es, Integralklassen zu identifizieren, die alle notwendigen Störungsinformationen für die Berechnung der Korrelatoren enthalten und sich entweder als rationale Funktionen oder Goncharov-Polylogarithmen ausdrücken lassen.