Modular forms for $${{\,\textrm{GL}\,}}(r, \mathbb {F}_{q}[T])$$: $$t$$-expansions of the basic forms

Abstract We give closed formulas for the first few expansion coefficients of the basic modular forms for $${{\,\textrm{GL}\,}}(r, \mathbb {F}_{q}[T])$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>GL</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Here the rank $$r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> is larger or equal to $$3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and the forms in question include the coefficient forms $$g_{1}, \dots , g_{r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and the Eisenstein series $$E_{q^{i}-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ( $$i \in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ).