Diffeomorphic Approximation of Piecewise Affine Homeomorphisms

Abstract Given any f , a locally finitely piecewise affine homeomorphism of $$\Omega \subset \mathbb {R}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> onto $$\Delta \subset \mathbb {R}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> (for $$d=3, 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) such that $$f\in W^{1,p}(\Omega , \mathbb {R}^d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$f^{-1}\in W^{1,q}(\Delta , \mathbb {R}^d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$1\le p,q &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and any $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> we construct a diffeomorphism $$\tilde{f}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> such that $$\begin{aligned} \Vert f-\tilde{f}\Vert _{W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R}^d)} + \Vert f^{-1}-\tilde{f}^{-1}\Vert _{W^{1,q}(\Delta ,\mathbb {R}^d)} &lt; \varepsilon . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow>