Reilly's inequality, stable domains, and polyharmonic Dirichlet problems

La thèse se compose de quatre chapitres. Le premier fait un état de l'art succinct et synthétique des notions abordées dans les trois autres chapitres. On survole le rapport entre les phénomènes physiques en mécanique et la notion d'énergie ainsi que les équations qui leur sont associées. Lorsque l'ordre de l'opérateur est supérieur à 2, la notion de courbure intervient avec l'intégrale de Willmore ; on l'associera à l'inégalité de Reilly. On discute par la suite du modèle emblématique de Kirchhoff-Love lié à l'équation du bilaplacien. Le deuxième chapitre traite de la continuité des équations. On démontre que tout domaine satisfaisant une condition relative à la capacité est ((m,p))-stable en toute dimension. Ces résultats fournissent des classes de domaines compactes pour la gamma_m-convergence. Ce résultat est enrichissant et significatif du fait qu'il englobe une vaste classe de domaines irréguliers tels que les domaines (mathscr{C}^1), les domaines Lipschitziens, les domaines Reifenberg-plats, les domaines à segments extérieurs, les domaines varepsilon-cône ou encore les domaines tire-bouchon. Dans le troisième chapitre, on étudie la régularité de la solution de l'équation polyharmonique sur un bord Reifenberg-plat. On prouve que toute solution est de régularité (mathscr{C}^{m-1,alpha}) jusqu'au bord. Ce travail étend la méthode des translations de Nirenberg aux opérateurs d'ordre quelconques, puis utilise les outils développés dans le chapitre 2. Les techniques variationnelles utilisées fournissent des estimations énergétiques précises au bord difficilement accessibles via des outils plus généraux développés pour la mesure polyharmonique. De plus, un contrôle du spectre des opérateurs polyharmonique est établi conséquemment à ce qui précède. Le chapitre quatre est indépendant des autres. On utilise la théorie des varifolds pour généraliser la fameuse inégalité de Reilly et notamment le cas d'égalité où des cas non-standard apparaissent offrant une étude enrichissante. Les varifolds permettent de définir efficacement la notion de courbure sur des ensembles irréguliers.