Integral equations modelling and deep learning

Cette thèse est motivée par le problème de l'estimation de paramètres pour dessystèmes d'équations différentielles non linéaires paramétriques. Étant donné un système,des valeurs pour les variables d'entrée, et des mesures de certaines variables de sortie(observées), l'estimation de paramètres consiste à retrouver les valeurs des paramètres.Dans cette thèse, nous présentons de nouveaux algorithmes permettant de calculer, pardes techniques d'élimination intégrale, les équations entrées/sorties (E/S) intégrales, quine font intervenir que les variables d'entrée/sortie et les paramètres. L'utilisation de ceséquations E/S intégrales est motivée par le fait qu'elles ont tendance à être plus courtes etmoins sensibles aux mesures bruitées que les équations E/S différentielles. Les résultatsprésentés dans cette thèse relèvent à la fois du calcul formel et de l'apprentissage profond.Le chapitre 2 montre, sur un exemple académique, que les équations E/S intégralessont effectivement moins sensibles aux mesures bruitées que les équations E/S différentielles, permettant ainsi d'améliorer l'estimation des paramètres.Notre nouvel algorithme integral_elimination présenté au chapitre 3 permet, enparticulier, de calculer des équations E/S intégrales à partir d'un système dynamique,utiles pour l'estimation des paramètres. L'algorithme integral_elimination utilise destechniques issues du calcul formel et repose sur une méthode classique de complétion à laKnuth-Bendix. Des exemples qui n'avaient pas pu être traités auparavant sont désormaisrésolus.Dans le chapitre 4, nous présentons des modèles d'apprentissage profond (basés surl'architecture du Transformer) rivalisant avec notre algorithme integral_elimination.Ces modèles ont mis en lumière de nouveaux exemples non résolus par nos algorithmesde calcul formel, et qui seront une source d'inspiration pour l'amélioration de notrealgorithme integral_elimination.