On the Properness of Polynomial Selfmaps

Abstract This paper studies the properness of polynomial selfmaps $$F:\mathbb {R}^m \rightarrow \mathbb {R}^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> or $$F:\mathbb {C}^m\rightarrow \mathbb {C}^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . By results of Druzkowski, this question is reduced to that of properness of maps of the following special form, which we call identity plus linear powers. For two vectors $$x,y\in \mathbb {R}^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , we use the notation $$x *y =(x_1y_1,\ldots ,x_my_m)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and if $$x=y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> we also use the notation $$x^2=x*x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and by induction $$x^k=x*(x^{k-1})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We use $$\langle ,\,\rangle $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for the usual inner product on $$\mathbb {R}^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . For A an $$m\times m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> <