Procedural bugs when placing fractions on the number line and their conceptual sources : from diagnosis to remediation

Les fractions associent deux entiers dans une relation multiplicative, un concept que les élèves en mathématiques ont beaucoup de mal à maîtriser. Même après plusieurs années d'enseignement, beaucoup d'entre eux continuent à éprouver des difficultés avec les concepts de base relatifs aux fractions. Parmi les multiples sens que l'on peut donner aux fractions, le sens de leur grandeur —où ces fractions se placent sur la ligne numérique — semble être le sens le plus important pour assurer une compréhension réelle des fractions. La grandeur des fractions assure en effet une continuité entre le domaine familier des nombres entiers et le domaine nouvellement découvert des nombres rationnels (qui inclut les fractions et les nombres décimaux). La précision avec laquelle les enfants placent des fractions sur une ligne numérique est par ailleurs un très bon prédicteur de leur réussite future à effectuer des opérations avec les fractions. Dans cette thèse, nous avons examiné les erreurs des enfants dans une variante de la tâche de placement sur une ligne numérique utilisant une ligne graduée et des fractions cibles à placer sur l'une des graduations de la ligne. À partir des données de 30 000 élèves français entre la 6ᵉ à la 2de, nous avons identifié sept types d'erreurs distincts, que nous avons regroupés en une hiérarchie à trois niveaux croissants de compréhension conceptuelle : (1) au niveau élémentaire, la confusion entre les fractions et les nombres décimaux ; (2) la reconnaissance du caractère itératif des fractions — où le numérateur dénombre une quantité unitaire ; et (3) la compréhension de la relation multiplicative entre le numérateur et le dénominateur. Pour expliquer ces types d'erreurs sur le plan procédural, nous avons proposé un modèle à deux stratégies. Selon ce modèle, les élèves abordent la tâche de deux manières possibles : soit en partitionnant la ligne en unités égales qu'ils vont ensuite compter, soit en convertissant les fractions en nombres décimaux qu'ils vont ensuite placer. Des erreurs peuvent se produire lorsque ces procédures comportent des « bugs », c'est-à-dire des étapes manquantes, et nous avons identifié plusieurs bugs qui pourraient systématiquement conduire aux erreurs observées. Une étude longitudinale menée auprès d'élèves de 6ᵉ a pu confirmer ces résultats et révéler une forte stabilité des types de réponse utilisés par chaque enfant au cours d'une même session de test. Nous avons ainsi pu associer chaque enfant à un profil de réponse stable sur une session. Cependant, entre les sessions, les changements de profil sont restés limités, indiquant que les erreurs fondamentales de compréhension des fractions n'étaient, pour la plupart, pas corrigées chez les élèves malgré une année complète d'enseignement. Pour remédier à ces difficultés persistantes, nous avons conçu et évalué Capitaine Fractions!, un programme d'enseignement en deux semaines composé de sept unités visant à renforcer la compréhension de la grandeur des fractions sur la ligne numérique. Fondé sur les principes de l'enseignement explicite et sur une progression allant de la représentation (sur la ligne numérique) vers l'abstraction, le programme a été mis en œuvre en classe entière et complété par un jeu d'entraînement informatisé. L'intervention a entraîné des progrès substantiels dans la tâche de placement sur une ligne numérique, mais le transfert à d'autres exercices standards sur les fractions, comme la comparaison ou l'addition de fractions est resté limité.