optimal control for mathematical models of cancer therapies

Cette thèse développe des cadres mathématiques et des méthodes numériques pour les équations de conservation non-locales avec applications à l’optimisation du traitement du cancer. Les modèles non-locaux, qui incorporent des interactions sur des portées spatiales finies à travers des opérateurs intégraux, offrent des représentations plus précises des phénomènes biologiques que les équations aux dérivées partielles locales traditionnelles.Nous établissons d’abord la théorie mathématique pour les lois de conservation non locales, prouvant l’existence et l’unicité des solutions par une approche en deux étapes :résolution d’un problème linéarisé avec termes non-locaux gelés via les caractéristiques,puis établissement d’un point fixe pour le système complet. Cette approche évite les conditions d’entropie de Kružkov typiquement requises pour les lois de conservation locales.Nous appliquons ensuite ce cadre à deux modèles de croissance tumorale. Le premier est un système à deux composantes couplant la densité tumorale et la concentration de médicament, pour lequel nous développons la théorie du contrôle optimal. Nous prouvons le caractère bien posé, la préservation de la non-négativité et l’existence de contrôles optimaux, dérivant les conditions d’optimalité nécessaires par une formulation adjointe. Le second est un modèle à trois composantes représentant la compétition entre cellules tumorales, tissu sain et nutriments. Pour ce système, nous exploitons la symétrie sphérique pour obtenir une formulation radiale pour réduire la dimension du problème.Pour la résolution numérique, nous développons deux méthodes. Un schéma de collocation utilisant des B-splines cubiques pour la discrétisation spatiale combiné avec des formules de différentiation rétrograde d’ordre six permet de résoudre le modèle radial à trois composantes. Une méthode sans maillage basée sur des fonctions de base radiales offre une flexibilité pour des géométries complexes. Les deux méthodes sont validées par des solutions manufacturées. Les outils théoriques et numériques développés fournissent une base pour optimiser les protocoles de traitement du cancer qui tiennent compte de la nature non-locale des interactions cellulaires dans le tissu tumoral.