The Fourier transform for triples of quadratic spaces

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> be a triple of even dimensional vector spaces over a number field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> equipped with nondegenerate quadratic forms <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , respectively. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> be the closed subscheme consisting of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . One has a Poisson summation formula for this scheme under suitable assumptions on the functions involved, but the relevant Fourier transform was previously only defined as a correspondence. In the current paper we employ a novel global-to-local argument to prove that this Fourier transform is well-defined on the Schwartz space of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝔸</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> To execute the global-to-local argument, we introduce boundary terms and thereby extend the Poisson summation formula to a broader class of test functions. This is the first time a summation formula with boundary terms has been proven for a spherical variety that is not a Braverman–Kazhdan space.