On d-Distance p-Packing Domination Number in Strong Products

Abstract The d -distance p -packing domination number $$\gamma _d^p(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of a graph G is the cardinality of a smallest set of vertices of G which is both a d -distance dominating set and a p -packing. If no such set exists, then we set $$\gamma _d^p(G) = \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . For an arbitrary strong product $${G\boxtimes H}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>⊠</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> it is proved that $${\gamma _{d}^p(G\boxtimes H) \le \gamma _d^p(G) \gamma _d^p(H)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>⊠</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . By proving that $$\gamma _{d}^{p}(P_m \boxtimes P_n) = \Big \lceil \frac{m}{2d+1} \Big \rceil \Big \lceil \frac{n}{2d+1} \Big \rceil $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊠</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>⌈</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>⌉</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⌈</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>⌉</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and that if $$\gamma _{d}^{p}(C_n) &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , then $$\gamma _{d}^{p}(P_m \boxtimes C_n) = \Big \lceil \frac{m}{2d+1} \Big \rceil \Big \lceil \frac{n}{2d+1} \Big \rceil $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>γ<