New characterizations for Fock spaces

We show that the maximal Fock space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> is a Lipschitz space, that is, there exists a distance <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> such that an entire function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> belongs to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> if and only if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for some constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> and all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This can be considered the Fock space version of the following classical result in complex analysis: a holomorphic function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> on the unit ball <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>𝔹</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> belongs to the Bloch space if and only if there exists a positive constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>𝔹</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the distance on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>𝔹</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> in the Bergman metric. We also present a new approach to Hardy–Littlewood type characterizations for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> .