Décompositions tensorielles pour l'imagerie de covariance

De nombreuses techniques d'imagerie non conventionnelle reposent sur l'analyse et le traitement d'attributs matriciels tels que les matrices de covariance. C'est le cas notamment de l'imagerie par tenseur de diffusion (DTI), de l'imagerie polarimétrique de Stokes, de l'imagerie par matrices de Mueller ou encore du radar à synthèse d'ouverture polarimétrique (PolSAR). Par exemple, en DTI, chaque pixel est associé à une matrice de covariance qui décrit la diffusion des molécules d'eau selon les axes principaux et leurs interactions. L'imagerie polarimétrique de Stokes offre un autre exemple, où la matrice de covariance de chaque pixel définit l'état de polarisation de la lumière transmise ou réfléchie par l'échantillon. La diversité de ces applications a conduit au développement de nombreuses méthodes de traitement, souvent motivées par des contraintes propres au domaine. Toutefois, ces images matricielles possèdent toutes une représentation naturelle sous forme de tableaux à quatre dimensions, aussi appelés tenseurs. Néanmoins, le potentiel des outils d'algèbre multilinéaire tensorielle pour l'analyse et le traitement de telles données reste encore largement à explorer. Cette thèse introduit un cadre méthodologique complet pour l'extraction d'information pertinente en imagerie de covariance en s'appuyant sur des modèles tensoriels de rang faible. On s'intéresse notamment à la décomposition non supervisée d'images de covariance en une somme de termes interprétables, chacun associé à une matrice de covariance caractéristique. Les modèles proposés sont flexibles, interprétables et identifiables sous des conditions peu restrictives, grâce au choix des paramètres de rang faible. Plus précisément, cette thèse introduit deux approches : (i) Cov-LL1, une décomposition tensorielle d'ordre trois en termes blocs adaptée aux données d'imagerie de covariance, et (ii) BBTD (Block-Block Terms Decomposition), une nouvelle décomposition tensorielle d'ordre quatre qui préserve la structure intrinsèque des images de covariance. La pertinence de ces décompositions exige de prendre en compte des contraintes de non-négativité et de semi-définie positivité sur les facteurs de rang faible associés, conduisant au développement de stratégies d'optimisation spécifiques. Des expériences numériques valident ces développements méthodologiques et démontrent l'efficacité de l'approche sur des jeux de données réelles, incluant l'imagerie polarimétrique de Stokes, l'imagerie par matrices de Mueller et DTI. Un package Python compagnon, PyBBTD, vise à faciliter l'utilisation de la méthodologie proposée dans les applications d'imagerie de covariance. La généralité des modèles présentés ouvre la voie à la popularisation des approches tensorielles dans le traitement des données d'imagerie de covariance.