Thomason’s Colimit Theorem for the Double Category of Elements

Abstract We show that, for any 2-category $$\mathcal {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> and 2-functor $$F:\mathcal {C}^\textrm{op}\rightarrow \underline{\textrm{Cat}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>op</mml:mtext> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:munder> <mml:mtext>Cat</mml:mtext> <mml:mo>̲</mml:mo> </mml:munder> </mml:mrow> </mml:math> , the double category of elements $$\iint _\mathcal {C}F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∬</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> introduced by Grandis and Paré satisfies a version of Thomason’s colimit theorem; that is, there is a weak homotopy equivalence $$B{{\,\mathrm{\textrm{hocolim}}\,}}F\simeq B(\iint _\mathcal {C}F)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>hocolim</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∬</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .