Separable surfaces that are critical points of the Dirichlet energy

Abstract In this paper, we study surfaces $$z=\varphi (x,y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in Euclidean space that satisfy the equation $$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\frac{\Lambda }{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>yy</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Lambda \in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a real constant. We classify these surfaces when they are the zero level sets of an implicit equation of the type $$f(x)+g(y)+h(z)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , where f , g and h are smooth functions of one variable. If $$\Lambda =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we find a large family of surfaces with interesting symmetry properties. However, if $$\Lambda \not =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we show that the surfaces must be either surfaces of revolution or of the type $$z=f(x)+g(y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ; furthermore, explicit parametrizations of these surfaces are obtained.