Théorie de la singularité et gravité forte : caustiques et fronts d'onde comme sondes des trous noirs

Cette thèse est consacrée à l'étude d'un résultat classique de R. Penrose qui décrit comment se forme l'horizon des événements d'un trou noir, en adaptant le formalisme des singularités en géométrie de contact (une théorie étroitement liée à certaines idées de la théorie des catastrophes) initié par V.I. Arnol'd. Nous présentons une classification et une analyse des possibilités structurelles dans lesquelles un horizon de trou noir peut naître. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons l'horizon des événements comme une hypersurface nulle générée par des géodésiques nulles qui se croisent en entrant dans l'horizon du trou noir, formant l'ensemble des plis de l'horizon des événements, c'est-à-dire l'ensemble où « naît » l'horizon du trou noir. Nous fournissons ensuite une brève description de la théorie des singularités des applications différentiables, en mettant l'accent sur les applications lagrangiennes et légendriennes, c'est-à-dire l'étude des caustiques et des fronts. La caustique est définie comme l'ensemble des valeurs critiques d'une application lagrangienne. Le front est l'image d'une application légendrienne. L'ensemble cuspidal du front est défini comme l'ensemble des valeurs critiques d'une application légendrienne. En nous concentrant sur les fronts d'onde, ou fronts se propageant dans le espace temps, nous remarquons qu'un ensemble cuspidal est mappé sur la caustique d'un front d'onde initial. Dans la deuxième partie, nous appliquons le formalisme de la première partie de la thèse pour étudier les singularités des horizons des trous noirs dans la relativité générale. Plus précisément, nous présentons notre méthodologie pour étudier les points non réguliers dans les hypersurfaces nulles en géométrie lorentzienne comme valeurs critiques des applications légendriennes. Nous commençons par des exemples qui servent de guides pour comprendre le cadre géométrique dans l'espace-temps le plus simple : l'espace-temps de Minkowski. Enfin, nous abordons le problème de la compréhension de l'horizon des événements comme une section déconnectée de l'infini nul d'un soi-disant BigFront. La caractérisation des horizons des événements comme des images de cartes légendriennes nous permet de classer l'ensemble des plis comme l'auto-intersection et l'ensemble des cuspides (ou caustiques, dans la terminologie de Penrose) des fronts. Cette analyse établit une classification des singularités sur les ensembles de plis de l'horizon des événements. Grâce à cette classification, nous montrons que, parmi les métamorphoses typiques des fronts, il n'existe qu'un seul type de singularité pouvant se produire sur l'ensemble des plis. De plus, ce résultat détermine le type de points singuliers dans les autres composantes (connectées) du bord cuspidal de l'ensemble du BigFront ayant des connexions causales avec l'infini nul. Dans la troisième partie de la thèse, nous présentons un axe de recherche parallèle impliquant la notion de caustique dans la théorie de la gravité, qui s'est développé parallèlement à ce travail. Plus précisément, cet axe de recherche concerne l'application de la théorie des singularités à l'analyse des modes quasi normaux (QNM) des trous noirs et des opérateurs différentiels elliptiques. En ce qui concerne les trous noirs, nous introduisons le problème de la stabilité spectrale des QNM dans des espaces-temps asymptotiquement plats. Dans un découpage hyperboloïdal de l'espace-temps, le problème des QNM des trous noirs équivaut à étudier les valeurs propres de certains opérateurs non auto-adjoints. D'autre part, la reformulation semi-classique des opérateurs elliptiques relie le problème de la distribution de leurs valeurs propres (perturbées) à l'étude des valeurs critiques du symbole principal. Cette analyse nous permet de comparer les deux approches et suggère des applications potentielles de la théorie des singularités dans l'étude de la stabilité spectrale des QNM.