On the number of minimal and next-to-minimal weight codewords of toric codes over hypersimplices

Abstract Toric codes are a type of evaluation code introduced by J.P. Hansen in 2000. They are produced by evaluating (a vector space composed of) polynomials at the points of $$(\mathbb {F}_q^*)^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , the monomials of these polynomials being related to a certain polytope. Toric codes related to hypersimplices are the result of the evaluation of a vector space of homogeneous monomially square-free polynomials of degree d . The dimension and minimum distance of toric codes related to hypersimplices have been determined by Jaramillo et al. in (Des Codes Cryptogr 89:269–300, 2021). The next-to-minimal weight in the case $$d = 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> has been determined by Jaramillo-Velez et al. in (São Paulo J Math Sci 17:188– 207, 2023), and has been determined in the cases where $$3 \le d \le \frac{s - 2}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> or $$\frac{s + 2}{2} \le d &lt; s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , by Carvalho and Patanker in 2024. In this work we characterize and determine the number of minimal (respectively, next-to-minimal) weight codewords when $$3 \le d &lt; s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> (respectively, $$3 \le d \le \frac{s - 2}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> or $$\frac{s + 2}{2} \le d &lt; s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ).