Existence of solutions for Choquard equations with an $L^{1}$-integrable reciprocal potential and upper critical growth

Abstract This paper is dedicated to studying the Choquard-type equation $$ \left \{ \textstyle\begin{array}{l} - \Delta u + V(x)u = ( {{I_{\alpha }} * {{\left | u \right |}^{ p}}} ){ \left | u \right |^{ p - 2}}u + \lambda {\left | u \right |^{q - 2}}u, \ u \in H^{1} ({\mathbb{R}^{N}}), \end{array}\displaystyle \right . $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $N\geq 3$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:math> , $\alpha \in \left ({0,N}\right )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $1&lt; q&lt;2^{*}: = \frac{{2N}}{{N - 2}}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> (the critical Sobolev exponent), $p=\frac{N+\alpha }{N-2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> is the upper critical Hardy-Littlewood-Sobolev exponent and $I_{\alpha }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the Riesz potential. When the reciprocal of the potential V is integrable, we establish the existence of solutions to the above problem for both sublinear and superlinear cases by means of the variational methods.