A distributional version of Cauchy’s integral formula with applications to the Hilbert transformation

Abstract Holomorphic functions $$f \in \mathscr {H}({\textbf {C}}\setminus I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are represented by an “integral" over the jump of the associated distribution along the branch cut I . The “integral" is the evaluation of the Cauchy kernel in the sense of the duality between the locally convex spaces $$\mathcal {B}_1({\textbf {R}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathcal {D}'_{L^1,-1}({\textbf {R}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . New Hilbert transforms of distributions are given.