EIGENVALUE SUPERPOSITION FOR SERIES OF TOEPLITZ MATRICES WITH MATRIX-SIZE DEPENDENT GENERATING FUNCTIONS

Abstract We consider Hermitian Toeplitz matrices $$T_{n}(A_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> generated by symbols $$A_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> that depend on the matrix size $$n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> . These symbols take the form $$ A_{n}(\theta )=a_{0}(\theta )+\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{n,k}\,a_{k}(\theta ), $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$A_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$a_{0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> belong to the simple-loop class $${{\,\textrm{SL}\,}}^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>SL</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> for some $$\alpha \geqslant 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Under suitable assumptions on the decay of the coefficients $$\beta _{n,k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and the regularity of the functions $$a_{k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , we prove that the eigenvalues of $$T_{n}(A_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> admit a full asymptotic expansion uniformly in the bulk of the spectrum. This work generalizes previous results for fixed and finitely perturbed simple-loop symbols.