Asymptotics of Green functions of random walks and applications to the leaky Abelian sandpile model

Cette thèse présente des résultats à l’interface entre probabilités et modèles discrets issus de la physique statistique. On y développe deux axes principaux. Le premier, qui fait l’objet du chapitre 2, s’intéresse au comportement asymptotique de fonctions de Green de processus de Markov additifs discrets. Il s’agit de chaînes de Markov sur un espace produit,qui généralisent les marches aléatoires usuelles sur Zd. Dans le cas d’un processus décentré, on obtient un équivalent asymptotique à l’infini de la fonction de Green, mettant en évidence sa décroissance exponentielle. Le second axe fait l’objet des chapitres 3 et 4. On y étudie un automate cellulaire proposé par des physiciens pour illustrer la notion de criticité auto organisée, le modèle de tas de sable abélien, dans sa variante poreuse (ou dissipative). Une des grandes questions ouvertes sur le modèle classique est de décrire précisément la forme prise par le tas de sable quand on dispose un grand nombre de grains de sable en un point du plan et qu’on laisse cette pile s’effondrer. Nous y répondons pour la variante poreuse,en exploitant le lien entre la forme du tas de sable et la fonction de Green d’une marche aléatoire tuée associée. Dans le chapitre 3, cette étude est faite sur les graphes associés aux marches aléatoires du chapitre 2, ce qui inclut en particulier le cas de Zd en dimension d quelconque. Dans le chapitre 4, l’étude est menée sur les graphes isoradiaux.