Essential dimension of sequences of quadratic Pfister forms

We study the essential dimension of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -tuples <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis phi 1 comma ellipsis comma phi Subscript m Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\varphi _1,\dots ,\varphi _m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of quadratic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -fold Pfister forms over a field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the Witt class of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 1 up-tack ellipsis up-tack phi Subscript m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ⊥ </mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo> ⊥ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi _1 \perp \ldots \perp \varphi _m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> lies in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript q Superscript n plus 1 Baseline upper F"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I_q^{n+1}F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that the essential dimension is equal to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m=3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and is either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4"> <mml:semantics> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5"> <mml:semantics> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 2 equals sans-serif c sans-serif h sans-serif a sans-serif r k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="sans-serif">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="sans-serif">h</mml:mi> <mml:mi mathvariant="sans-serif">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="sans-serif">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=2=\mathsf {char}k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .