A counterexample to an isomorphism problem for power monoids

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a (multiplicatively written) monoid. The family <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper P Subscript fin comma 1 Baseline left-parenthesis upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>fin</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {P}_{\text {fin},1}(H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of finite subsets of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing the identity element is itself a monoid when endowed with setwise multiplication induced by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Tringali and Yan proved that two monoids <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contained in a special class of commutative, cancellative monoids are isomorphic if and only if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper P Subscript fin comma 1 Baseline left-parenthesis upper H 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>fin</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {P}_{\text {fin},1}(H_1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper P Subscript fin comma 1 Baseline left-parenthesis upper H 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>fin</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {P}_{\text {fin},1}(H_2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are. Moreover, they raised the question whether the same holds in the general setting of cancellative monoids. We show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are (commutative) valuation monoids with trivial unit groups and isomorphic quotient groups, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper P Subscript fin comma 1 Baseline left-parenthesis upper H 1 right-parenthesis asymptotically-equals script upper P Subscript fin comma 1 Baseline left-parenthesis upper H 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>fin</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>