MMP for Enriques pairs and singular Enriques varieties

We introduce and study the class of primitive Enriques varieties, whose smooth members are Enriques manifolds. We provide several examples and we demonstrate that this class is preserved under the operations of the Minimal Model Program (MMP). In particular, given an Enriques manifold <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:math> and an effective <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:math> -divisor <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:math> such that the pair <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is log canonical, we prove that any <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -MMP terminates with a minimal model <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>′</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>′</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>′</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> is a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℚ</mml:mi> </mml:math> -factorial primitive Enriques variety with canonical singularities. Finally, we investigate the asymptotic theory of Enriques manifolds.