A linear operator bounded in all Besov but not in Triebel-Lizorkin spaces

We construct a linear operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon script upper S prime left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis right-arrow script upper S prime left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T:\mathscr S’(\mathbb R^n)\to \mathscr S’(\mathbb R^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon script upper B Subscript p q Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis right-arrow script upper B Subscript p q Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T:\mathscr B_{pq}^s(\mathbb R^n)\to \mathscr B_{pq}^s(\mathbb R^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than p comma q less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;p,q\le \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\in \mathbb R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , but <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T left-parenthesis script upper F Subscript p q Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis right-parenthesis not-a-subset-of script upper F Subscript p q Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊄</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:ms