Minimality of the Riesz Projection Among Projections onto Abstract Hardy Spaces and Related Topics

Abstract Let X be a translation-invariant Banach function space on the unit circle $$\mathbb {T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:math> with the associate space $$X'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , let w be a weight such that $$w\in X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$1/w\in X'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , let X ( w ) consist of measurable functions $$f:\mathbb {T}\rightarrow \mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that $$fw\in X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and let H [ X ] and H [ X ( w )] denote the abstract Hardy spaces built upon X and X ( w ), respectively. Extending Rudin’s arguments (1962), we show that if $$\mathcal {P}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:math> is a bounded projection from X ( w ) onto H [ X ( w )], then the Riesz projection P is bounded from X onto H [ X ] and $$\Vert aI+bP\Vert _{\mathcal {B}(X)}\le \Vert aI+b\mathcal {P}\Vert _{\mathcal {B}(X(w))}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for all $$a,b\in \mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Further, for $$m\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , let $$T(\textbf{e}_{-m})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998