SOME RESULTS ON VECTOR-VALUED FOCK SPACES

Abstract Let X be a complex Banach space and denote by $$F^p_\alpha (X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$F^{w,p}_\alpha (X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> the X -valued Fock spaces of entire functions f such that $$\Vert f(z)\Vert e^{-\frac{\alpha }{2}|z|^2}\in L^p(dA)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$x^*(f(z))e^{-\frac{\alpha }{2}|z|^2}\in L^p(dA)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for any $$x^*\in X^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , respectively. For Hilbert-valued functions, it is shown that $$F^2_\alpha (H)=F^{w,2}_\alpha (H)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> if and only if H is finite dimensional and also that <jats:tex-math